Matmag

Ramiona robotów odsunęły się od postaci stojącej na niskim podium. Inżynier prześlizgnął się wzrokiem po zamykających się klapach. Energia przestała płynąć z końcówek ramion. Forma była już gotowa. Teraz uaktywniała się świadomość.

Inżynier dosunął jakąś rozmytą jajowatą strukturę. Zero. Gdy postać zaczęła na nią spoglądać, wolno zcisnął ją w polu energii. Struktura przekształciła się w pręt.

Jedna ze ścian warsztatu zamigotała. Pojawił się za nią jakiś cień, który stawał się oraz wyraźniejszy. Wreszcie pojawiła się nowa postać.

– Potrzebna dostawa.

Inżynier nie zareagował. Przybysz zastanowił się chwilę, widząc brak reakcji, kontynuował.

– Przybywam po sześć Deców.

Inżynier drgnął. Pręt w kolejnym polu energii zaczął się obracać, obserwowany przez postać z podium.

– Czy to na pewno ta funkcja? To jest raczej Inc?

Inżynier szybko wyłączył urządzenia. Gestem nakazał postaci zejść z podium i wyjść.

– Zatkaj się. Uszkodziłeś ją. Kiedy trwa trening, nie można wspominać o innych funkcjach.

Przybysz spojrzał na nią badawczo.

– Przecież ona jest głodna! Puszczasz ją w takim stanie?

Inżynier już chciał odpowiedzieć, ale powstrzymał się czekając, aż postać znikanie w ścianie. Wreszcie zaczął rugać przybysza.

– Tak będzie lepiej. Teraz nie wiadomo kim ona jest. Miała być Inc, ale usłyszała o Dec. Niechaj ją teraz zje jakaś Cyfra. Następnym razem czekaj, aż nauka zostanie ukończona. Jeśli ta funkcja przetrwa modyfikację, będą kłopoty.

– Może zostanie Interpretacją? One znają różne funkcje.

– Nie. Interpretacje nie modyfikują. Ta potrafi. Należy to zgłosić Purystom. Przygotuję nośnik pod Dece, tylko uprzedzę czekający Zbiór o kłopotach.

Inżynier nie zauważył jednak, że „uszkodzona” funkcja jeszcze nie opuściła do końca pomieszczenia i słyszy rozmowę.

Zaraz jednak wyszła. Za ścianą zobaczyła kilka innych funkcji Inc, które Zbiór zachęcał do wejścia na platformę transportową. Leżała też sterta zer. Uszkodzona podeszła do nich. Wzięła jedno, okazało się, że łatwo je wchłonąć zyskując energię. Teraz niczym się nie różniła od innych. Weszła na pokład Zbioru.

Wkrótce pojawił się inżynier. Rozejrzał się wokół.

– Zbiorze, gdzie jest głodna funkcja, możliwe że Inc? Widziałeś ją?

Zbiór rozejrzał się wokół.

– Była tu jakaś przed chwilą. W moich zasobach – nie widzę.

– Rozpłynęła się? Na pewno jest u ciebie, ukrywa się wśród innych.

– Wykryję ją jak włączę swoje pole. Pod warunkiem, że się różni od pozostałych.

– Niezbyt się różni. Jest uszkodzona. Nie umie działać na cyfrach większych niż jeden.

– Będę pamiętał. W takim razie wezmę je do systemu bezdziesiątkowego.

– Ale tam każda kolejna cyfra powstaje przez dopisanie jedynki!

– Nie tego. W tym, o którym myślę, cyfry mają być spójne. Tylko więcej Inc może szwankować – ich system docelowy jest inny.

Zbiór zapędził resztę funkcji na platformę. Zabezpieczył wyjście. Zgromadzone funkcje zaczęły się zlewać. Po chwili na platformie stała tylko jedna funkcja Inc. Zbiór pokiwał głową z niesmakiem.

– Ujawni się podczas działania – powiedział z nadzieją.

 

W stanie, w którym znalazły się funkcje Inc, niemożliwe było rozróżnić jedną od drugiej – stanowiły jeden organizm. Mogły się jednak swobodnie komunikować i wymieniać doświadczeniami.

„System bezdziesiątkowy? Co to za jeden?”

„Nie ma dziesiątki. Tylko nie wiem, jak wygląda dziesiątka…”

„Chyba dziesiątka nie jest cyfrą”.

„Aha, przecież i tak działamy tylko na cyfrach. Nie potrafimy działać na czymś innym”.

„Wystarczy dołączyć się do istniejącej cyfry jako jej wypustka”.

„Załamiemy jakąś krawędź, bądź ją uwypuklimy. Niektóre krawędzie można utajnić wśród innych”.

„Skąd będziemy wiedzieć, jak w systemie bezdziesiątkowym wygląda konkretnie następna cyfra?”

Zapadło na chwilę milczenie. Ince przypominały sobie swój trening. Wreszcie doszły do wniosku:

„Nie wiemy. Musimy się pytać. Ale cyfry mają pozostać spójne, czyli w jednym kawałku. Jeśli cyfry są rozróżnialne, samo łamanie i uwypuklanie może nie wystarczyć”.

Cyfry są spójne

„Jeśli cyfry nie wyglądają jak nam pokazano, powinni nam podać sposób ich tworzenia”.

 

Zbiór dostarczył funkcje na miejsce. Zebrało się kilka zawiadomionych Funktorów i Interpretacji.

– Wiesz, na czym polega uszkodzenie? – zapytały Zbiór.

– Jedna z tych funkcji nie potrafi zwiększać cyfr większych niż jeden. Są dostosowane do systemu siódemkowego.

– Zatem będą się mylić – zauważyła jedna z Interpretacji.

– Podajmy im dwójkę i niech kolejno zwiększają. Wyłapiemy uszkodzoną – zaproponował Funktor.

– Kiepski pomysł – zauważyła jedna z Interpretacji. – Będą zwiększały według swego systemu, który tu nie obowiązuje. Są doświadczone?

– Nie, świeżo skonstruowane – odpowiedział Zbiór.

Interpretacja pełniąca rolę przywódczą pokiwała głową z zadowoleniem.

– W porządku. Możemy zaczynać od zera. Będą zwiększać. Nie udzielajcie informacji o tutejszych cyfrach! Zbiorze, wypuszczaj Inc pojedynczo.

– Ale… – zaczął któryś z Funktorów. Widząc jednak wzrok tej Interpretacji szybko zamilkł. Inne też spoglądały z niesmakiem na swoją szefową.

Zbiór poluzował swoje pole. Jedna z funkcji Inc stanęła na platformie, obserwowana zarówno przez towarzyszki, jak i zgromadzonych. Dostała Zero i polecenie zwiększania. Kiedy zadziałała, przekształciła się w jedynkę, chwila drgań i pozostała zwykła jedynka. Jeden z Funktorów chciał zaprotestować, ale Interpretacja go powstrzymała.

– Następna – zarządziła Interpretacja.

„Po przekształceniu wyrwijcie tę cyfrę z siebie” – przekazała innym uszkodzona funkcja.

„Zginiemy” – zaprotestowała inna Inc.

„Będziemy głodne i ranne, ale przetrwamy. Zaufajcie mi”.

Z podejścia nieśmiało zstąpiła kolejna funkcja Inc. Kiedy zadziałała na jedynkę, dołożyła jej drugą krawędź i natychmiast oderwała powstałą stałą. Jednak padła ledwo żywa koło wykrzywionej cyfry. Interpretacja zamrugała zaskoczona.

– Już się nauczyła? Nie uzyskała właściwej cyfry, dała trójkę zamiast dwójki, ale przeżyła. Trzeba będzie skorygować działanie. – Interpretacja usunęła ją na bok.

„Róbmy jeżyka z cyfr. Dołączajmy nowe krawędzie do jednego wierzchołka” – zaproponowała któraś z Inc.

„Przeskakujemy cyfry…” – zauważyła inna.

Kolejna funkcja Inc posłuchała tej rady. Jednak zapotrzebowanie na energię okazało się tak duże, że nie zdołała oderwać się od powstałej cyfry. Interpretacja uśmiechnęła się. Zapotrzebowanie na energię było tak duże, że niszczyło.

Teraz przyszła pora na uszkodzoną funkcję. Schodząc z platformy rozglądała się dookoła w poszukiwaniu możliwości zwiększania. Jednak Interpretacje przewidziały to i usunęły z zasięgu wszystkie Cyfry oprócz zwiększanej. Zbliżyła się do Cyfry. Przypatrywała się chwilę nadgryzionej brakiem energii łamanej złożonej z trzech krawędzi. Wydawały się jednak stabilnie ulokowane nad podłożem. Funkcja postanowiła przewrócić strukturę. Kiedy to robiła, Cyfra zaczęła zciągać z niej energię. Obrót był kontynuowany, nagle zapotrzebowanie na energię ustało, jednak Cyfra oplotła Funkcję próbując ją wchłonąć. Funkcja szybko wyrwała się stając obok – głodna. Tutejsza ósemka leżała koło niej.

– Ob…

Interpretacja zagłuszyła jej słowa nakazując przejść na bok. Mogła teraz obserwować swoje towarzyszki. Widziały, co zrobiła. Zatem kolejna także zaczęła obracać strukturą. Padła podobnie jak poprzedniczka, Cyfra wyciągnęła z niej bardzo dużo energii. Z kolei następna po obrocie nagle stanęła nie tylko w pełni sił, ale nawet nieco podładowana energią cyfry.

Następne jednak miały pecha. Obroty zostały wyczerpane, każdy kolejny wracał do znanego już ustawienia. Uszkodzona funkcja zaczęła uświadamiać sobie kolejną własność cyfr:

Cyfry są rozróżnialne

Któraś z Inc też doszła to tego wniosku i dołożyła kolejną, czwartą krawędź. To było to. Następna cyfra. Lecz kolejne obroty nie zmieniały cyfry. Za to dodawanie krawędzi było tak energochłonne, że każda padała. Potrzeba było coś innego. Wyczerpane jednak zostały zasoby Zbioru.

– Uszkodzona funkcja zapewne już padła – zauważyła Interpretacja. – Na wszelki wypadek to ja nawiążę z nimi więź podatkową.

Interpretacja zaczęła podchodzić do każdej z funkcji i kładła im rękę na ciele. Te wzdrygały się pod dotykiem, gdy fragmenty tkanki ulegały wymianie. Nie inaczej było z Uszkodzoną. Zorientowała się, że Interpretacja ta jest bardzo doświadczona i nie toleruje jakiegokolwiek odejścia od norm. W zamian oferuje dostęp do wiedzy, jeśli zechce się skorzystać. I jeszcze drobiazg, z każdej wykonanej pracy, z każdego zadania część energii miało zasilać Interpretację. Nazywało się to podatkiem.

– Teraz spokojnie nauczmy te funkcje tutejszych cyfr – ogłosiła wreszcie Interpretacja. – Można już ich używać.

Zaś do funkcji Inc powiedziała.

– Macie teraz dostęp do repozytorium, z którego łatwo uzyskacie właściwą postać następnych cyfr systemu, kiedy będzie wam potrzebny.

– Co? Następna cyfra jest tak prosta? – krzyknęła jedna z Inc.

– Tak, to tylko jedna ukośna krawędź – potwierdziła Interpretacja. – Dlatego nie byłyście w stanie jej zgadnąć. Ale schemat prawie wykryłyście. Powtarza się on z każdą nową krawędzią. Po dwie linie pionowe, dwie poziome. Możliwości dla jednej, dwu, trzech lub czterech krawędzi w obrotach. Potem to samo przy jednej krawędzi ukośnej, przy drugiej ukośnej.

– Ale dalej jest gorzej…

– Tak, kiedy macie już cyfrę zawierającą wszystkie krawędzie, wraz z obydwiema ukośnymi, pojawia się dodatkowy identyczny schemat struktury, który wraz ze wzrostem cyfr obiega pierwotną. Potem kolejny, i kolejny…

– Robiłaś to specjalnie – wtrącił jeden z Funktorów. – Funkcje te nie miały szans. Wysiłki dla uzyskania takich struktur bez mnóstwa energii musiały skończyć się fiaskiem.

– Przyznaję się – stwierdziła Interpretacja. – To są już duże, nawet bardzo duże cyfry.

– Ale my chyba miałyśmy zwiększać inaczej, w innym systemie? – zauważyła inna Inc.

– W systemie siódemkowym. Modyfikacje są podobne jak tutaj, inny jest wygląd cyfr i występuje ograniczenie zciągające cyfry do zer. Możecie podejrzeć jak to działa i przenieść się tam.

 

Uszkodzona funkcja milczała. Czuła, że Interpretacja cały czas kontroluje, która z Inc sięga do repozytorium i czego szuka. Czy byłoby bezpiecznie sprawdzić wygląd cyfr? A jeśli tego nie zrobi, czy nie będzie to podejrzane? Interpretacja zdawała się nie mieć oporów przed zagładą kolejnych obiektów. Być może tylko czeka na ujawnienie przez którąś funkcję swojej niewiedzy. By wyłapać tą, która nie wie. Może jest to kolejna część zastawionej pułapki by ją wyeliminować.

Bardzo dużo cyfr. Bez repozytorium trudno jest połapać się co do wyglądu następnej cyfry. Są one spójne i rozróżnialne. Dlatego z trzech możliwości, mając dwa miejsca na krawędź pionową dostępna jest tylko jedna. Podobnie dla krawędzi poziomych. Zmienia to dopiero krawędź ukośna, która pozwala ujawnić wszystkie trzy możliwości. W innym, ograniczonym licznością cyfr systemie byłoby łatwiej. Ale należałoby wcześniej sięgnąć do repozytorium. Ryzykować?

Nagle któraś z Inc krzyknęła i upadła ranna. Uszkodzona przyskoczyła do niej.

– Co ci jest?

– W tym repozytorium jest dużo ciekawych danych, ale tracę energię…

– Czekaj, te informacje są płatne energią!

– Tylko nieznane – zauważyła Interpretacja. – W końcu, my wszyscy je wspólnymi siłami tworzymy.

Uszkodzona pomyślała: skoro same tworzymy to repozytorium, to mamy bezpłatny dostęp tylko do tego, co same wiemy – to jest ta pułapka. Dlatego opisała tworzenie tutejszych cyfr, aby nas zachęcić do korzystania. Opis odwlókł potrzebę zapłaty. Czy Interpretacja domyśla się, że to przejrzałam?

Ale z miny Interpretacji nie można było nic wyczytać. Popatrzyła jeszcze chwilę na zebranych. Za chwilę zaczęła się rozmywać i zniknęła. Wróciła do swojego miejsca pobytu.

 

Uszkodzona rozejrzała się dookoła.

– Czy ona może dostać nieco energii? – zapytała. – Lub Zero?

Lecz inne obiekty zaczęły się szybko rozchodzić. Funktory podążyły w swoją stronę, interpretacje też się wyniosły. Te nieliczne Inc, które zostały same były mniej lub bardziej ranne.

– Pewnie mamy paść z głodu, choć w pobliżu jest pełno pożywienia – westchnęła.

Leżąca Inc coś szepnęła. Uszkodzona nachyliła się bliżej.

– Jeszcze raz. Ta trawa na której jesteśmy to cyfry? Jesteś pewna? Tylko musimy sobą zadziałać?

Inna z Inc powiedziała:

– Ale jak zadziałamy, kiedy jesteśmy głodne? Padniemy!

Uszkodzona przyjrzała się pędowi trawy. Wzięła go w ręce. Nie widziała cyfry. Ale przypomniała sobie ostatnią fazę powiększania. Skoro czasem to mogła być kompresja kilku krawędzi w jedną, gdzieś powinna być końcówka ostatniej dołożonej krawędzi. Palce delikatnie przebiegały po strukturze liścia. Nagle trafiły w zakończenie. To była ta krawędź.

– Chyba coś mam – rzuciła Uszkodzona. – Choć się boję. Zaraz może pojawić się Interpretacja, by mnie załatwić…

Palce zaciśnięte na końcówce krawędzi drżały. Funkcja jeszcze raz spojrzała na leżącą Inc i szarpnęła. Trawa przekształciła się w cyfrę, zaś w drugiej dłoni Uszkodzona trzymała jedynkę. Zgniotła ją, co wyzwoliło energię, a w ręku ujawniło się bezkształtne Zero.

– Zjadaj – podała leżącej Inc.

Inne Ince spoglądały na Uszkodzoną ze zdziwieniem. Ta już nie miała kłopotu ze znajdowaniem kolejnych końcówek krawędzi. Liść był doskonale widoczną Cyfrą. Funkcja odrywała krawędzie jedynek, przekształcała w Zera i podawała do zjedzenia.

Uszkodzona czuła, że część tej energii wędruje do Interpretacji. Ale nie przejmowała się już tym. Nasyciła wszystkie współfunkcje, nawet siebie. Akurat trawa okazała się na tyle dużą Cyfrą, że energii starczyło dla wszystkich, a nawet nieco zostało. Liść powoli zatracał wygląd cyfry upodabniając się do pozostałych. Uszkodzona teraz czekała… i nic się nie działo.

 

– Ty nie jesteś Inc… – odezwała się zregenerowana po korzystaniu z repozytorium Inc. – Ty jesteś…

– Nie szukaj! – zaprotestowała Uszkodzona. – Mogłam teraz działać jak Dec.

– Tak, Dec – Inc jednak skorzystała. Tym razem jednak nie została ranna. – Chyba już wiem, jak bezpiecznie obsługiwać to repozytorium.

– No?

– Pytam się tylko o to, czego jestem świadkiem. To są rzeczy już mi znane, zatem nie płacę. Tylko… w jaki sposób potrafisz działać jak Dec? Mamy duże opory.

– Też mam. Ale usłyszałam, że jestem jedną z wielu możliwych Funkcji. Nie wszystkie działamy tak samo. Skoro zaś my zwiększamy, to inne mogą zmniejszać. Skoro my musimy oddawać energię, to inne mogą ją pozyskiwać. I udało się. Na szczęście Cyfry magazynują energię. Zera są jadalne. Inne można sprowadzać do zer.

– Ale zaraz – zauważyła inna Inc. – Ty upodabniasz się do twierdzenia!

Inne Ince też zauważyły drobną zmianę Uszkodzonej. Funkcja stała nie wiedząc, co ma robić.

– Brakuje ci tylko jednej rzeczy – Inc od repozytorium wiedziała. – Akurat tej, która mnie powaliła. Te Cyfry tutaj, to są zmienne.

– To coś innego niż Cyfry?

– Cyfry są stałymi. Działasz na stałą, najpierw przez Inc, potem przez Dec, zaś stała się nie zmienia. Zerwij jakąś cyfrę. Nie sprawdzaj jej! Działasz dla dowolnej. Nie znając jej wartości zamiast stałej trzymasz zmienną. Tak, teraz jesteś kompletnym Twierdzeniem:

Twierdzenie. Zmienna a.

Dec Inc a = a .

 

Uszkodzona stała z liściem trawy w ręku i rzeczywiście wyczuwała różnicę. Liść był jej niezbędny jak okrycie przed nieodpowiednią pogodą. Bez liścia stawała się bardziej naga. Ale pomyślała, że trochę głupio jest tak biegać z liściem. Lepiej go gdzieś sobie umocować. Przerobić go na wianek albo coś. Albo… Uszkodzona zaczęła wyczuwać coś jeszcze. Jako Twierdzenie miała więcej możliwości. Ale jakich? Otrząsnęła się lekko.

– Potrzebuję podejrzeć więcej obiektów. Będziecie mi towarzyszyć?

 

Kraina składała się głównie z trawy. Gdzieniegdzie jednak widać było jakieś inne obiekty, najczęściej Funktory. Od czasu do czasu przemykała Interpretacja. I to wydawało się wszystko. Ale nie. Było coś jeszcze, ale na razie wymykało się zmysłom.

Funktory też były nieznane. Przypatrując się ich działaniu, Uszkodzona odkryła, że często biorą one dwa źdźbła, długo się im wprzódy przyglądając.

Rozglądając się, nagle zauważyła drugie Twierdzenie. Podążyła w jego kierunku prowadząc Ince. Jednak tamto szybko spojrzało na zbliżającą się grupkę i nagle zniknęło. To nie było przeniesienie. To było wtopienie się w grunt. Zdziwiona Uszkodzona zatrzymała się rozglądając się podejrzliwie.

– Widziałyście, co to Twierdzenie zrobiło?

Ince potwierdziły. Wreszcie któraś zaproponowała.

– Może zamiast rozglądać się za obiektami, sama zaczniesz modyfikować? Pomożemy.

– A Interpretacja? Wykryje nasze działania i dopadnie…

– Już by to zrobiła – inna Inc była dobrej myśli. – Pewno wie, że już nie jesteś Inc. Dopóki płacisz jej podatek, zostawi cię w spokoju.

– Myślisz? – kolejna Inc była bardziej podejrzliwa. – Na razie poznałyśmy tylko cyfry tej krainy i potrafimy je zwiększać. Nic więcej.

– A co byś chciała?

– Na przykład, co to jest za cyfra – Inc wskazała źdźbło trawy. – Jeśli ty, Uszkodzona, zadziałasz, przez chwilę będziemy wiedzieć, co to jest. Ale za chwilę znów się rozmyje.

– Zatem chcesz umieć porównywać – upewniła się Uszkodzona. – Ale wiesz, że to będzie powodowało zmiany…

– Przecież zmieniamy – zauważyła któraś z Inc.

– Właśnie, zmieniamy – potwierdziła Uszkodzona. – Być może interpretacja tylko czeka, aż zaczniemy zmieniać coś nie tak, jak jest tutaj, by nas sprzątnąć. Pamiętacie, co zrobiła z naszymi towarzyszkami, jak szukałyśmy kolejnych cyfr na ślepo?

– Ty nie zmieniasz… – Inc zwróciła się do Uszkodzonej.

Uszkodzona pokiwała z niedowierzaniem głową. To było to. Przekształcenia, które niby zmieniają, ale zostają wycofane zanim coś zmienią. Takie przekształcenia pobierają nieco energii, ale nie na tyle, by zaburzać porządek. Zresztą, jedzenie nie zostało zabronione.

– Jeszcze chwila – Uszkodzona powstrzymała. – Potrzebujemy jeszcze jednej wersji Twierdzenia, kiedy najpierw ja zadziałam, a potem któraś z was:

Twierdzenie. Zmienna a.

Inc Dec a = a .

 

– Naturalne. Tak zostałyśmy skonstruowane – potwierdziły Ince.

– Dobrze. To nauczymy się porównywać dwie wartości… Najpierw porównany zera.

– A co w nich jest do porównania? – zapytała Inc repozytorium. – Powinny być równe.

– No dobrze, to porównany jedynki.

– Bez sensu – inna Inc też była zniesmaczona. – To tak jak zera, tylko po naszym zadziałaniu.

– Nie. – Increp repozytorium coś zauważyła. – Jest coś takiego jak niejednoznaczność. Nasze towarzyszki miały kłopoty z obrotami cyfr. Czasem obracając zwiększały, ale mogły też zmniejszyć cyfry. Tu chodzi o to, byśmy zawsze zwiększały o jeden. Ta nowa cyfra ma być ściśle określona. Jednoznacznie przedstawiona.

Cyfry mają jednoznaczne przedstawienie

– To naturalne… – odezwała się któraś z Inc.

– Dla nas tak – Uszkodzona potrafiła spojrzeć dalej. – Tak zostałyśmy wyuczone. Ale czy tutaj też to działa? Przecież jeżeli jedna z was zadziała na jedynkę, a inna dwukrotnie na zero, to czy zawsze uzyskamy taki sam wynik? Nam wydaje się że tak, bo patrzymy na wartość. A jeśli ktoś popatrzy na budowę, sposób konstrukcji, powie, że nie.

– Chodzi o to, że w pierwszym przypadku bierze udział jedna funkcja, a w drugim dwie?

– Dokładnie tak! – Uszkodzona poczuła się zrozumiana. – Dlatego chcę wiedzieć, jak porównywać, kiedy będziecie same, a kiedy zostaniecie wchłonięte przez Cyfry.

– To zaczynaj od zer. Dwa zera są równe – zaproponowała któraś z Inc. – A kiedy nie masz zer, sprowadź cyfry do zera.

– I tak wspólnymi siłami utworzymy nowy Funktor, Porównanie.

– Jest jeden problem – zauważyła Uszkodzona. – dam radę sprowadzić do zera i porównać zero z zerem. A jeśli to drugie nie stanie się wtedy zerem?

– Nie wystarczy wycofać wszystkich zmian? – zaproponowała Increp repozytorium. – Będą drobne straty energii, ale niezmienność będzie zachowana.

Funkcje zaczęły generować strukturę wśród trawy wykorzystując swoje umiejętności. Okazało się, że trzeba uwzględnić pojawienie się zera w różnej kolejności. Najwięcej przy konstrukcji udzielała się Increp. Towarzyszki zauważyły, że ona też się modyfikuje. Nowa konstrukcja okazała się być Definicją, trzymającą dwie zmienne:

 

Propozycja definicji równości Eq. Zmienne a, b.

Eq zero zero = zero;

Eq zero a = Eq a zero = ?;

Eq a b = Eq (Inc Dec a) (Inc Dec b) = Inc (Eq (Dec a) (Dec b)) ;

 

Trawa uległa wybrzuszeniu i nagle okazało się, że to, co wyglądała jak trawiasta równina wcale nie jest taka gładka, jak początkowo. Takich struktur było wiele. Ujawniły się także inne Definicje i Twierdzenia. Teraz już było widać, że Twierdzenie, w momencie kiedy było widoczne właśnie coś zjadało.

Funkcje mogły teraz wskoczyć na Definicję, jak wcześniej na pokład Zbioru. Uszkodzona wykryła, że Definicja jej podlegała, ale miała osobowość dokładnie tak samo jak ona czy inne Funkcje. Co więcej, potrafiła się nawet przemieszczać. Kiedy Definicja schylała się w kierunku trawy, następowało automatyczne przekształcanie źdźbeł w Cyfrę. Definicja wymuszała na Uszkodzonej zadziałanie Dec, a wkrótce potem to samo działo się z którąś z Inc. Straty energii nie były tak duże, jak przewidywała Increp. Zresztą Definicja powoli sama z siebie pozyskiwała energię. Niemniej cały czas dla działania potrzebowała dwa źdźbła trawy.

Uszkodzona nakierowała Definicję w kierunku najbliższego Twierdzenia. Nagle uaktywnił się pomost, po którym można było przejść na jego teren. Uszkodzona i Increp zeszły po pomoście. Definicja skurczyła się do ich wielkości, z dodatkowym spłaszczeniem po brzegach , na którym można było stanąć.

Po obu stronach były duże leje, które łączyły w postument na końcu drogi. Przy pierwszym z nich w małej budce siedziało Twierdzenie. Zerknęło na przybyszy. Pomyślało chwilę i wyszło na zewnątrz.

– Chyba nie po dowód? Jesteście pierwszy raz.

– Skąd wiesz że pierwszy raz? – spytała Uszkodzona.

– Macie za mało równości, bym mógł usłużyć. Do dowodu też potrzebujecie więcej materiałów. To znaczy, że trafiliście tu przypadkiem. W czym mogę pomóc?

– Jak rozpoznać, że już można korzystać z twoich usług? – zapytała Increp. Uszkodzona spojrzała na nią zdziwiona.

– Definicją, ale nie taką, jak ta. – Twierdzenie wskazało Definicję. – Ta jest robocza, przyjmuję dwie takie, zwracam jedną.

– To nieopłacalne, chyba że jest modyfi… – zaczęła Uszkodzona, ale Increp kopnęła ją w kostkę.

– Właśnie, nie do końca rozumiem, czy to akurat to, co potrzebuję – kontynuowała Increp. – Usługi repozytorium – szepnęła do Uszkodzonej.

– Podobnie jak wasze porównanie porównuje cyfry, możecie porównywać twierdzenia – powiedziało Twierdzenie. – Skoro przyszliście poznać dowód, proszę, oto wejście. Możecie opuścić w dowolnej chwili.

Koło jednego z lejów uwidoczniło się wejście do groty.

– Na pewno zaraz wyjdziecie z braku surowców. Twoje Twierdzenie nie poradzi sobie, ma zły typ. Jest tu bezużyteczne, użyjcie Definicji, chociaż powinniście mieć co najmniej dwie takie. I znacznie więcej surowców. Korzystam z trzech zmiennych.

– Dwie ma Definicja, ja jedną, powinno wystarczyć – wypaliła Uszkodzona.

Twierdzenie uśmiechnęło się z politowaniem.

– Tu pojawiają się trzy porównania, każde z dwiema zmiennymi. Łącznie sześć, chociaż się powtarzają. Widzę, że szykujecie się do zawodów w minimalizacji kosztów. Powodzenia.

Uszkodzona chciała jeszcze o coś zapytać, ale Increp pociągła ją do groty. Za nimi podążyła Definicja. Uszły niedaleko. Drogę zagrodziła ściana z płaskorzeźbą. Za nią była druga, podobna. Uszkodzona spojrzała na Definicję, na ścianę i zauważyła dużą zgodność. Definicja też to zauważyła. Podeszła blisko ściany i prawie się w nią wtopiła. Uszkodzona zauważyła, że spełniony jest warunek porównania zer, czyli Definicja stawała się zmienną. Ściana się przewróciła, dając dostęp do kolejnej przeszkody.

Uszkodzona pomogła Definicji oderwać od siebie zmienną, dostarczyła jej swój liść. Ściana wróciła na miejsce, lecz przybysze byli już dalej, przy drugiej. Równocześnie zauważyli wąską dróżkę wiodącą do wyjścia, oraz wylot pochylni schodzącej na miejsce, gdzie stali.

– Dobrze, to było pierwsze założenie – odczytała inscrypcje Increp. – Eq a b. Teraz następne.

– Wygląda identycznie – zauważyła Definicja próbując wtopić się w ścianę

Tu jednak był pewien zadzior, który nie pozwalał przylgnąć tak dokładnie. Był związany z cyfrą. Uszkodzona kilkakrotnie zmniejszyła cyfrę kilkukrotnie, co powodowało równoczesne zmniejszanie się przeszkody, wreszcie zanikła.

– Drugie założenie – rozpoznała Increp, – Eq b c.

Po powaleniu drugiej ściany podróżni dotarli do komnaty, z której mieli dostęp do obu uwięzionych w ścianach zmiennych. Definicja zagarnęła obydwie wartości.

– To samo? – zdziwiła się odrywając powstałą zmienną od siebie.

Równocześnie komnata przekształciła w budkę, w której gospodarowało Twierdzenie.

– Zgadza się, takie samo – Twierdzenie odpowiedziało na pytanie Definicji. To jest moja teza:

Twierdzenie. Przechodniość porównania. Zmienne a, b, c.

Eq a b, Eq b c = Eq a c .

 

– Już? – zdziwiła się Uszkodzona. – Przecież tu nic takiego nie było.

– Przeciwnie – zaprotestowało Twierdzenie. – Jeśli wiemy, że jakaś wartość są równa dwóm innym, to znaczy, że tamte dwie też są równe. Bardzo ważna własność, pozwalająca szybciej utożsamiać obiekty.

– Przecież… – zaczęła Uszkodzona, ale Increp znów ją powstrzymała.

– Bardzo dziękujemy za udostępnienie – powiedziała Increp.

Prawie siłą wyciągnęła Uszkodzoną na zewnątrz, a zaraz potem na pokład Definicji. Poprosiła, by Definicja oddaliła się nieco. Dopiero teraz zwróciła się do Uszkodzonej.

– Mamy inną definicję porównania. Dlatego tak łatwo przeszedł nam ten dowód. I prawie bez strat energii, nie licząc utraty liści.

– Sprawdzałaś w repozytorium? – spytała Uszkodzona.

– Nie. Wywnioskowałam z uwag Twierdzenia. Skoro mówiło o małej krotności zasobów, a tracimy tylko jeden na zadziałanie Definicji, to znaczy, że tutejsza definicja porównania niszczy oba zasoby i generuje z nich nowy. Nie możemy się przyznać, że tego nie znamy. Chyba że chcesz ściągnąć Interpretację.

 

– Chyba wiem, jak rozpoznawać Twierdzenia – zauważyła Definicja.

– Tak? – zapytała Uszkodzona.

– Patrzę na liczność zasobów, które są im potrzebne do zadziałania. Potem na budowę tezy. To widać na odległość. Nie trzeba lądować. Na przykład, to twierdzenie, które opuściliśmy ma dwa założenia. A to, koło którego zaraz przelecimy, tylko jedno. I wydaje się bardzo proste.

– Ale to też było proste – zauważyła Uszkodzona. – Przecież z ciebie, Definicjo, tworzyła się zmienna, taka sama za każdym razem.

– To może tu być bardzo istotne – Definicja zatoczyła łuk. – Spójrzcie na to Twierdzenie. Nie będziecie miały co robić, ale wydaje się bardzo ważne. Albo tamto.

– To wyląduj przy tym – zaproponowała Increp. – Spróbujemy uzyskać własności porównania bez korzystania z repozytorium.

– Może najpierw zerwiemy nieco trawy, aby pokazać, że mamy zasoby – zasugerowała Uszkodzona.

Po zerwaniu kilku źdźbeł cyfr, Definicja z Funkcjami na pokładzie wysunęła pomost łączący struktury. To Twierdzenie miało tylko jedno założenie. Jeżeli w ogóle miało. Tu nawet Uszkodzona widziała, że to była konstrukcja prawie identyczna jak w Definicji:

Twierdzenie. Zwrotność porównania. Zmienna a.

Eq a a .

 

Twierdzenie wyszło ze swej budki na powitanie.

– Przybyliśmy zerknąć na dowód – powiedziała Increp.

Twierdzenie lekko zmarszczyło brwi i postawiło ścianę oznaczoną hieroglifami. Uszkodzona już miała podejść, ale Definicja ją zatrzymała.

– Ach, to nam wystarczy. Dziękujemy.

– Ależ proszę. Wystarczy, że przysuniesz się bliżej.

Definicja spojrzała na swoje źdźbła, na ścianę i nagle się odsunęła.

– Naprawdę dziękuję – powiedziała.

– Nalegam… – powiedziało z naciskiem Twierdzenie.

– Ale ja odmawiam – Definicja była pewna.

– Wystarczy podejść… – Increp nie wiedziała, co się dzieje. – Przecież nic się nie stanie…

– Nie chcę. Możemy już odejść? – Definicja zaczęła podkładać się pod nogi Uszkodzonej.

– Przepraszam. Nie wiem co w nią wstąpiło – powiedziała Uszkodzona wstępując na pomost. Wejdź, Increp, nie będziemy jej zmuszać.

Twierdzenie spoglądało spod zmarszczonych brwi, niby spokojne, ale Uszkodzona dostrzegła w nim coś niepokojącego. Zrozumiała, że Definicja też to zauważyła.

 

Kiedy funkcje były już na pokładzie, Increp zapytała:

– O co chodzi, że zrezygnowałyście?

– Wartość – odpowiedziała Definicja. – Niby to Twierdzenie jest proste i niegroźne, ale wartość, w którą bym się przekształciła nie jest stąd.

– Byś się przekształciła w cyfrę – zauważyła Increp.

– Nie. Wartość jest nietutejsza, nie było postumentu zwrotnego. Jakbym jawnie zadziałała, bym pozostała, a Twierdzenie gdzieś przenosi. Nie wiem gdzie.

– Będzie nas ścigało?

– Nie sądzę, raczej naśle na nas Interpretację.

Definicja skierowała się w stronę kolejnego Twierdzenia. Tym razem miało ono założenie. Ale też było bardzo proste. Po wylądowaniu Funkcje stanęły przed strukturą.

 

Twierdzenie. Symetria porównania. Zmienne a, b.

Eq a b = Eq b a .

 

Uszkodzona i Definicja spojrzały po sobie. Twierdzenie to wskazywało, że jeden z zapisów w ciele definicji był niepotrzebny. Kolejność nie jest ważna. Lecz Uszkodzona wyczuwała, że nie jest w stanie tego sprawdzić. Po prostu nie wiedziała, którą wartość pozostawia w przypadku spełnienia warunku.

Twierdzenie opuściło swoją budkę i stanęło wyczekująco.

– Tylko sprawdzamy – wyjaśniła mu Definicja.

– Do usług, kiedy będę wam potrzebne. – Twierdzenie skinęło głową i wróciło.

Definicja opuściła teren i oddaliła się nieco. W otoczeniu pojawił się jakiś nowy obiekt. Podlatywał do kolejnych funkcji, wszczynał krótkie rozmowy. Wreszcie skierował się w stronę Definicji. Ta dopuściła go w swoje pobliże. Obiekt szybko zorientował się w możliwościach grupy.

– Zadam wam zadanie. Mam dwie liczby a i b. Czy są one równe?

Definicja i Uszkodzona szybko zorientowały się, że są to różne cyfry.

– Nie – odpowiedziała Definicja.

– Wykaż to proszę.

– Jak?

– Zadziałaj na nich.

– Nie chcę.

– Masz zadziałać! – obiekt zaczął być agresywny. – W przeciwnym razie zniszczę twoje struktury.

– Nie.

Obiekt przystąpił do ataku. Uszkodzona próbowała odepchnąć go od Definicji, sama wpadła w środek impulsu rozrywającego struktury. Uszkodzona starała się, by uszkodzenia nie dotarły do części, które łączyły ją z Interpretacją. Nie udało się. Sygnał rozpadu poszedł w otoczenie.

Wkrótce potem zjawiła się Interpretacja. Przekształciła atak w nieskończoną pętlę.

– Jakie dałeś zadanie? – zapytała intruza.

– Porównanie dwu wielkości. Nie chcą podać wartości. Mówią tylko że są one różne.

– Odpowiedź prawidłowa?

– Tak. Ale chcę wartość. Taka odpowiedź nie zadawala mnie.

Interpretacja zmrużyła oczy.

– Wiesz, że ta odpowiedź przenosi do innej krainy?

Obiekt zamilkł. Interpretacja kontynuowała.

– Jeśli ktoś nie chce przenosin, nie należy go zmuszać. A jakie ty dostałeś zadanie w zamian?

Zapadła cisza. Obiekt poczuł, że tym razem on staje się ofiarą. Interpretacja odczekała chwilkę i stwierdziła.

– Zatem nie dostałeś zadania. Twój atak jest nadużyciem – Interpretacja zwróciła się do Uszkodzonej. – Podaj zadanie do wykonania.

– Jakie?

– Coś, co potrafisz sprawdzić. Zadania na ogół podają obie strony.

– Czy może porównać dwa zera?

– Dobrze. Oczekujemy teraz wyniku.

Obiekt zabłysnął i zniknął. Ale Interpretacja puściła wiązkę, która sprowadziła go z powrotem, nieco poranionego.

– Gdzie uciekasz? Odpowiedź ma być podana tutaj. Bez przenosin.

Obiekt zaczął się wykręcać.

– Wynik jest boolowski. Tu są cyfry. Nie mogę podać odpowiedzi tutaj.

– Zatem nie możesz także niszczyć struktur tych obiektów.

– Ale one działają wbrew tutejszym przekształceniom!

– Skąd wiesz, jakie przekształcenia tutaj występują? Od rozróżnienia tego, co jest dozwolone, a co nie, jesteśmy my, Interpretacje. Ci na razie nie łamią konwencji. A że nie chcą opuszczać tego terenu, to jest ich sprawa.

– Czy nie widzisz, że one ignorują równoważność?

– Nie do końca. One wiedzą o swojej obcości i pilnują, by zachowywać się możliwie niezmiennie. Tyle mi wystarcza.

Increp wymieniła spojrzenie z mocno naruszoną Uszkodzoną. Równoważność? Increp już chciała sięgnąć do repozytorium, ale spojrzała na uszkodzenia. Będzie musiała z tym poczekać. Interpretacja spojrzała na nie.

– Nabieracie doświadczenia… – stwierdziła.

Przeskanowała Definicję.

– Taka formuła jak w waszej definicji nie przejdzie.

– Inc działająca na kilku argumentach? – przestraszyła się Uszkodzona.

– To też. Ale w definicji musicie zawsze mieć wartość zwrotną funkcji. Koniecznie w zapisie, w działaniu jest to mniej istotne, zachowujecie się odpowiednio. Chyba ten Funktor, który was tak pokiereszował, będzie odpowiedni.

– Ale on zmusza do opuszczenia tej krainy!

– Zgadza się, jest portalem.

– Nie będę im służyć! – wrzasnął intruz.

– Nie pytam ciebie o zdanie. Niszczysz, więc jesteś odpowiedni. Wiesz, jakie są koszta po przegranym zadaniu… Przegrałeś próbując odpowiedzieć gdzie indziej. Zatem w ramach zapłaty staniesz się częścią ich Definicji.

– Nie chcemy szkodzić, tym bardziej niszczyć – zauważyła Increp.

– Nie trzeba przez niego przechodzić. Kiedy ma zadziałać, wracacie z jego wartością, Nil – czyli pustka albo nicość, albo powrót.

– Zwracałem wartości boolowskie! – wtrącił Nil.

– To teraz będziesz wskazywał nieistnienie, wyjdzie na to samo. Tylko nie opuścisz już tej krainy samowolnie.

– Co on właściwie zwraca? – zapytała Uszkodzona.

– Informację: „to nie działa”, odpowiednik boolowskiej wartości fałsz.

– Chcesz nas bardziej rozbudowywać? – spytała Uszkodzona.

– Nie muszę. Robicie to same. Raczej koryguję wasze zapisy. Już mało wam brakuje do zostania Teorią. Możecie zacząć brać udział w zadaniach. To takie specyficzne zawody. Dostajecie polecenie, może nieco energii. Jak wykonacie, dostajecie nagrodę, nieco wiedzy, surowców.

– A jak przegramy, kończymy jak Nil – dopowiedziała Increp.

Interpretacja uśmiechnęła się lekko.

– On naruszył zasady. Stawiając zadanie, musicie nie tylko znać odpowiedź, macie mieć gotową mapę, która jest możliwa do pokonania przez was, niekoniecznie przez oponenta. Ale ten ma odpowiedzieć w sposób, jaki jemu najbardziej pasuje, na co nie macie wpływu. Tę odpowiedź powinniście uznać, o ile jest dobra, to znaczy zgadza się z waszą.

– Można znaleźć odpowiedź, która jest inna?

– Tak. Wtedy wkraczamy my, Interpretacje. Macie wtedy przedstawić swoją drogę rozumowania. My zaś sprawdzamy, gdzie nastąpiło przekształcenie, i albo prosimy o doprecyzowanie, bądź anulujemy zadanie. Tak jak teraz.

Interpretacja popatrzyła jeszcze chwilę na grupkę. Wyciągnęła jakąś tabliczkę.

– Zadanie dla was. Powinniście dać radę. W ramach zapłaty leczę wszystkie wasze rany i przenoszę w tereny, gdzie lepiej orientujecie się w cyfrach. Na przykład do systemu, gdzie początkowo miałyście dotrzeć.

– Dostarczyć jedynkę – przeczytała Increp – z wytwórni do Zbioru.

– Wszystko zaznaczone na mapie. Szczegóły na następnej stronie tabliczki.

Increp przeszła na następną stronę. Uszkodzona spojrzała jej przez ramię i aż syknęła.

– Jedynka nie może występować!

– Zarówno ona, jak i funkcje ją trzymające są niszczone w tym obszarze – zgodziła się Interpretacja. – Należy użyć funkcji zwiększającej, na przykład Inc. U celu wystarczy potraktować to Dec. Taka jest proponowana dla was droga.

Uszkodzona zakryła twarz w dłoniach. Jej plecy zaczęły drgać.

– Dostaniemy jedynkę?

– Dokładnie. Widzę, że się rozumiemy.

Interpretacja ukłoniła się i zniknęła.

– Chyba wszystko jasne – westchnęła Increp i spojrzała na Uszkodzoną, która wciąż się trzęsła. – Co z tobą?

– Mamy zwiększyć jedynkę. Którą Inc poświęcimy? – wydusiła Uszkodzona.

– Poświęcimy?

– Nie inaczej. Kolejna próba unicestwienia nas. Mamy wędrować z dwójką powstałą z jedynki. Nie z funkcją Inc jeden, lecz z dwójką.

– W tym opisie jest coś jeszcze!

– Jeszcze gorszego…

– Być może nie. Są informacje o funkcjach dopuszczalnych w obszarze. Prócz nas widzę tu Dodawanie, Mnożenie, Odejmowanie, Dzielenie.

– Co to za jedne?

– Nie wiem, są pogrupowane tak, jakby jedne zwiększały, zaś drugie zmniejszały. I mają one więcej argumentów.

– Chcesz powiedzieć, możemy przenosić energię między cyframi nie używając Inc?

Definicja rozejrzała się po okolicy.

– Tu widzę jakąś funkcję mającą więcej argumentów. Wylądować?

– Nie trzeba. – Uszkodzonej zaczęło coś świtać. – Czyli, bierzemy jakąkolwiek większą cyfrę jako jeden z argumentów. Kiedy dostaniemy jedynkę, przenosimy energię z tamtej cyfry do jedynki, aż uzyskamy dwójkę. Dalej chodzimy z tą funkcją – nie mającą jedynek. Zaś u celu robimy dokładnie to samo w drugą stronę?

Fun a b = Fun Dec a Inc b .

– Szalone, ale może się udać.

Przekształcenie próbne zakończyło się powodzeniem. Definicja nie była w stanie wykryć jedynki. Zatem grupa podążyła w kierunku zaznaczonej wytwórni. U celu nie było widać żadnej budowli. Nad próżnią, blisko połaci trawy powoli puchł bąbel. Kiedy pękał, przekształcał się w trawę, zaś resztka opadała w pobliżu, w pustkę.

Definicja miała kłopoty z lądowaniem. Udało się dopiero wtedy, kiedy zechciała ominąć nabrzmiały bąbel. Przy maleńkim stole inżynier dokładał energię do pulsującej trawy.

– Przybywamy ze zleceniem… – zaczęła Increp, ale Uszkodzona przerwała jej.

– Poczekaj aż skończy.

Increp spojrzała ze zdziwieniem. Inżynier skinął potwierdzająco głową. Za chwilę zatrzęsło się podłoże, kiedy trawa na stole wybuchła rozrzucając się po okolicy. Stół podskoczył zsuwając się z murawy w próżnię, gdzie zawisł.

– Słucham? – zapytał inżynier usuwając resztki z blatu oraz wybierając źdźbło trawy.

– Mamy zabrać jedynkę do zadania – powiedziała Uszkodzona wysuwając skonstruowaną funkcję.

Inżynier zainicjował reakcję trawy. Za chwilę szarpnął ją trzymając jedynkę.

– Proszę. Mogę zatwierdzić transakcję? – poprosił o tabliczkę z zadaniem, od której oderwał jakiś drobny kawałek.

Uszkodzona zorientowała się, że to był kawałek mapy z zaznaczoną pozycją wytwórni. Kawałek przekształcał się w energię, którą inżynier szybko kierował na stół, gdzie źdźbło zaczęło pulsować. Z początku delikatnie, potem coraz mocniej, aż nastąpił podział na dwie części.

– Dziękuję.

– Także dziękuję.

Funkcja przejęła jedynkę i przetoczyła energię, aż jedynka przemieniła się w dwójkę. Definicja wystartowała z grupą na pokładzie i skierowała się do kolejnego punktu kontrolnego zadania.

Zbliżając się do celu Definicja odczuła trudności w poruszaniu się. Za chwilę przyskoczył jakiś obiekt.

– Chcecie wkroczyć na ten obszar?

– Mamy zadanie dostarczyć jedynkę.

– Na ten obszar nie mogą wkraczać jedynki! – obiekt przygotował się do ataku.

– Sprawdź proszę, czy mamy jakąkolwiek – zareagowała szybko Uszkodzona. Obiekt w pełni gotowy do ataku przeskanował kolejno elementy grupki.

– Nie macie jedynek, i chcecie jakąś dostarczyć? Żartujecie sobie? Zresztą nieważne. Przejście dozwolone.

Definicja ruszyła kierując się na wskazany ma mapie Zbiór. Kiedy dotarła do celu wylądowała. W pobliżu widać było ruiny jakiejś struktury. Increp szturchnęła Uszkodzoną, by ta zainicjowała reakcję przywrócenia wartości jedynki. Lecz ta wstrzymała ją.

– Najpierw pogadajmy ze Zbiorem. Te strzępy nieco mnie niepokoją.

Zbiór widząc lądującą grupkę zamachał rękami.

– Chwilowo nie wykonuję poleceń. Jestem przyblokowany.

– Potrzebujesz jedynki?

– Jedynki tutaj są niedopuszczalne. Muszę znaleźć wartość pewnej funkcji, bez jedynki nie dam rady.

– Przywieźliśmy, lecz chyba będą kłopoty z wyłuskaniem…

– Nawet poważne kłopoty – westchnął Zbiór, – należy zadziałać poza obszarem. Zapraszam.

Zbiór wskazał platformę, na której stała jakaś funkcja.

– Funkcja trzymająca jedynkę niech się ustawi obok. Kiedy dam znak, niech ją przekaże tej.

– Jest to niebezpieczne?

– Tutaj bardzo.

– Jeszcze jedno pytanie – zwróciła się Increp. – Skoro ta funkcja dostanie jedynkę, będzie widoczna dla strażników, którzy będą chcieli ją zniszczyć. Ją i wszystko w pobliżu. Tak?

– Tak. Ale chwilowo przeniosę w inną przestrzeń, w której będziecie bezpieczniejsi. Tam dokonają się przekształcenia i wrócicie tutaj. Jeśli to jest jedyna jedynka w waszym ekwipunku, przetrwacie.

Uszkodzona zaprosiła swoją funkcję na platformę i stanęła obok Zbioru. Nagle zamigotały jakieś światła, obraz się lekko zamazał.

– Teraz! – zawołał Zbiór.

Popłynęła energia, jedynka ujawniła się w całej okazałości. Po przekazaniu funkcja Zbioru błyskawicznie przytknęła ją do siebie i przekształciła w kolejną kończynę. Za chwilę obraz znów się wyostrzył. Obie funkcje zeszły z platformy. Increp wyciągnęła tabliczkę z zadaniem.

– Odbiór nagrody nie jest tutaj – sprawdziła.

Zbiór podziękował, oderwał swoją część zadania. Uszkodzona popatrzyła na ruiny.

– Przepraszam. Czy to jest…

– Tak, Dodawanie próbowało podać mi jedynkę bezpośrednio. Jeśli chcecie, możecie mu się przyjrzeć.

Uszkodzona omijała wyrwy szukając pozostałości z centralnych organów. Zauważyła w miarę znajomy wzór. To były pozostałości Inc w pierwszym definiującym wzorze. Atak był skierowany dokładnie na nią, niewiele zostało. Ale i wyrażenie było wyjątkowo małe, sądząc po rozmiarze dziur. Kolejny wzór budowy zachował się znacznie lepiej. Tutaj też była wykorzystywana funkcja Inc. Nawet dwukrotnie.

Funkcja, dzięki której została dostarczona jedynka też weszła i szukała dla siebie drugiego argumentu. Increp obserwowała ją, zachowane resztki, i nagle coś spostrzegła.

– Między naszą Funkcją i dodawaniem jest pewne podobieństwo.

– Jakie? – Uszkodzona odwróciła się w jej kierunku.

– Tylko jeden z argumentów był zwiększany przez Inc.

– Ale ja mam zarówno Inc, jak i Dec – sprostowała Funkcja.

– I tu podobieństwo się kończy, nie widać oznak Dec – zgodziła się Increp. – Chyba, że ta druga Inc podszywała się za Dec. Jest po przeciwnej stronie wzoru. Obie strony były zwiększane równocześnie.

– Zmieniały wartości podczas działania? – spytała Uszkodzona.

– Na to wygląda – zgodziła się Increp.

Szczątki były zbyt uszkodzone, by wyłapać coś więcej. Uszkodzona Increp wezwała do powrotu, gdzie miała pojawić się Interpretacja. Ale pojawił się problem z Funkcją, która zażądała drugiego argumentu.

– Czy tutaj są luzem stałe bądź zmienne? – spytała Increp Zbiór.

– Nie. Tu są głównie funkcje – odpowiedział Zbiór, – stałe są od razu wbudowywane w obiekty.

– Nie wolno nam tu wytworzyć cyfry, musimy po drodze wygenerować jedynkę – zauważyła Uszkodzona.

– Coś muszę mieć. W ostateczności wezmę ciebie za argument – naprzykrzała się Funkcja.

– Może weźmiesz te zgliszcza? – zasugerowała zniesmaczona Uszkodzona.

Zbiór nie zaprotestował, ruiny i tak mu przeszkadzały.

Funkcja uniosła resztki bez trudności jako zmienną. Dostała swój argument. Grupka podążyła do ostatniego punktu zadania.

 

Interpretacja nie dała na siebie długo czekać. Zjawiła się na pokładzie Definicji zaraz po opuszczeniu obszaru bez jedynek.

– Leczę zgodnie z umową… – zaczęła skanować i naprawiać, lecz zatrzymała się przy Funkcji użytej do transportu jedynki. – A to co?

Uszkodzona struchlała. Interpretacja oglądała wyrwy argumentu funkcji z rosnącym zdziwieniem.

– Wasza funkcja Add nie tylko nie jest standardową, ale ma jako argument inną funkcję Add. Zniszczoną, ale jednak. Jest zatem Funktorem. I to nie byle jakim Funktorem, ale bardzo zaawansowanym.

– Zniszczysz? – wystraszyła się Uszkodzona.

Interpretacja spojrzała na nią przeciągle.

– Najpierw spełnię warunki, które sobie postawiłam, z jej wyjątkiem – Interpretacja wskazała Add. – Czas na przywrócenie większości Inc miejsca przeznaczenia.

Interpretacja otworzyła portal, który wciągnął całą grupkę. Za chwilę znaleźli się oni w kolejnej teorii. Biegało tu trochę cyfr, ale w odróżnieniu od już poznanych miały znacznie dłuższe nazwy.

– O, nasze cyfry! – któraś z Inc zdecydowała się wreszcie opuścić wnętrze Definicji. Podążyły za nią inne.

– Tak. Pozwolę sobie na przyblokowanie ciebie, gdybyś chciała którąś zatrzymać. – Interpretacja zwróciła się bezpośrednio do Uszkodzonej, a zaraz potem do Increp. – Ty też tu zostań, jesteś niby Inc, lecz za dużo poznałaś.

– Nie zamierzam ich zatrzymywać! – prawie krzyknęła przestraszona Uszkodzona.

Ince opuściły pokład i zaczęły radośnie rozbiegać się po okolicy. Interpretacja, Increp, Definicja, Add i Uszkodzona patrzyły, jak ich otoczenie powoli pustoszeje.

– Nie znasz tych cyfr. – Interterpretacja zwróciła się do Uszkodzonej. – Niech twoja towarzyszka ci je opisze.

– Eee… – zatkało Increp.

– Śmiało. Działacie zespołowo, co cenię znacznie wyżej niż poprawność. Być może niedługo nauczysz się sama konstruować obiekty. A wtedy wszystkie będziemy musiały bardzo ściśle współpracować.

– Wiesz, że nie chcę nic zmieniać mimo mojej konstrukcji wyzwalającej zmiany…

– Dlatego potrzebujesz bardzo dużo nauki. Nawet więcej niż przy szkoleniu młodych Interpretacji. I postaram się zapewnić wam takie szkolenia, dopóki będę mogła. Najpierw tutejsze cyfry. Proszę…

 

Increp ochłonęła nieco z wrażenia. Zaczęła opowiadać:

– Tutejsze cyfry mają następujące nazwy: niedziałaj, poniedziały, wtornik, środyk, czwartyk, piątyk, szabas. Każda z nas…

– Ty już nie – wtrąciła Interpretacja, – każda z tutejszych Inc…

– …zmienia nazwę na następną w tej właśnie wyznaczonej kolejności. Więcej cyfr nie ma. Tutaj nie ma. Zwiększenie ostatniej przekształca ją w początkową.

– I inne cyfry nie są potrzebne. Wasze Porównanie…

Widząc, że Uszkodzona robi wielkie oczy, Interpretacja wskazała na Definicję.

– Wasze Porównanie jest na tyle ogólne, że nie przejmuje się cyframi, ani liczbami, czy obiektami. Przy was nauczyło się porównywać wszystko ze wszystkim. Różnymi sposobami. I dobrze mu idzie.

– Chyba nie można porównywać wszystkiego ze wszystkim? – zauważyła nieśmiało Increp.

– Nie. Bardzo ważna jest definicja obiektu. – Interpretacja wskazała Add. – Wasz Funktor Add to przypadek, którego nie potrafię poprawnie zinterpretować. Na razie. Gdyż nie wiem, co chciałyście przez niego osiągnąć.

– Przetransportował jedynkę pod postacią dwójki…

– To też. Ale potem, kiedy za argument wziął inną funkcję. Tak czynią Funktory. Wtedy porządna definicja jest jeszcze ważniejsza.

– Czy tu chodzi o różnice między naszym Add a tym zniszczonym?

Interpretacja zmarszczyła brwi.

– Tak. Jego definicję znam. Zaś wasza pozostawia nieco do życzenia. W dodatku przy was może zadziałać tam, gdzie według mnie nie powinien. Dlatego w dalszym ciągu powinnyście tworzyć zespół.

– Nie chcesz nas zniszczyć? – spytała Uszkodzona.

– Przeszłyście już najgorsze testy niszczące, jakie wymyśliłam. Bez strat, co dla mnie jest szokujące. Stajecie się zbyt kosztowni, by was niszczyć. Na razie chronię was przed Purystami. Ale niedługo będziecie musiały się z nimi same zmierzyć.

– Jak była definicja Add? Tego zniszczonego? – spytała Increp.

Interpretacja skinęła z uznaniem głową.

– Dobre pytanie, oczekiwałam go. Wygodniej jest mieć nieco inny zapis cyfr. Przeniosę was.

Portal przeniósł, lecz kraina na pierwszy rzut oka się niczym nie różniła, za wyjątkiem wyglądu cyfr. Miały one krótsze nazwy.

– Tutejsze cyfry działają tak jak już wam znane, ich zmodyfikowane nazwy to 0, 1, 2, 3, 4, 5 i 6. Tutejszym zerem jest 0, jest to odpowiednik niedziałaj. Przy tych cyfrach zniszczone Add miało budowę:

 

Definicja dodawania Add klasyczna. Zmienne a, b.

Add a 1 = Inc a ;

Add a Inc b = Inc Add a b .

 

– Ujawnione zostało wystąpienie jedynki, co doprowadziło do zniszczenia.

– Ale wcześniej była drobiazgowa kontrola, jak Add przedostało się przez nią?

– Technika kamuflażu zmiennych. Przy odczycie Puryści czytali dwukrotnie drugie z tych założeń.

– Jak to? – nie zrozumiała Increp.

– Jedynka 1 to Inc 0. Add przedstawiło swój pierwszy wzór jako Add a Inc 0 = Inc a. W tej postaci nie ma widocznej jedynki. Dlatego przedostała się głębiej.

– Prawie identyczne założenia, a inny wynik… – szepnęła Uszkodzona. Interpretacja jednak dosłyszała.

– Dobrze powiedziane, prawie. To myli większość Purystów. W definicjach coś takiego nie może się pojawiać. Dlatego chcę wam teraz przekazać, jak należy poprawnie definiować. Zarówno wasza Add, jak i tamta nie nadają się do tej teorii. Dlaczego?

– Jak to się nie nadaję! – zaprotestowało Add. – Przecież biorę dwa argumenty stąd, przenoszę energię z jednego do drugiego i tak zostaje.

– Elementy mają mieć energię – dodała Uszkodzona. – Oznacza to, że nie każdą cyfrę można zmniejszać.

Interpretacja potwierdziła.

– Taką cyfrą tutaj jest zero. Nie potrafisz dodawać zer. Zarówno ty, jak i tamta Add.

– W takich przypadkach zostawiamy bez zmian – zauważyła Increp.

– Docelowa zmiana polega na usunięciu niepotrzebnych obiektów. Zupełnie jak po ich zjedzeniu – zakończyła Interpretacja. – W obu Add brakuje inicjacji dla zer. Tamta zaczynała liczyć od jedynki.

– To oznacza, że należy wprowadzić jeszcze jedno wyrażenie do definicji naszej Add – stwierdziła Uszkodzona. Szybko wygenerowała nowy wzór, który wprowadziła w wnętrze Funktora:

 

Definicja dodawania Add. Zmienne a, b.

Add 0 a = a ;

Add a b = Add Dec a Inc b .

 

– Właśnie tak. Każdą definiowaną funkcję należy zainicjować, po czym podać przepis na zmiany. Nie wolno zostawiać żadnej luki. W ostateczności, kiedy byłyby za duże kłopoty, wysyłacie do innej krainy.

– Tak jak wbudowany w Porównanie Nil. Coś się nie odzywa.

– Obraził się pewnie. Zresztą jest głęboko ukryty. Może nawet nie słyszy, co mówimy.

– Klasycznie jest odsyłanie do wartości boolowskich, prawdy jako „działa” oraz fałszu jako „nie działa”. Jeśli tam nie podążycie, nic się nie dzieje. Za to ja mam więcej roboty. – Interpretacja nie wydawała się specjalnie zasmucona tym faktem.

– Można wykrywać luki? – zapytała Uszkodzona.

– Często tak. Z tym zawsze są kłopoty. Na szczęście w tej teorii działa Indukcja. Ona zapobiega powstawaniu luk.

– Chyba jeszcze jej nie spotkaliśmy…

– Wykorzystujecie ją, nawet o tym nie wiedząc. Chociaż nie w tej wersji, z której najchętniej korzystam. Stosujecie jej odwrócenie, Rekursję. Obie polegają na tym, że najpierw sprawdzamy przypadek szczególny, a następnie wyrażenie sprowadzamy do tego szczególnego przypadku. Wy najpierw sprowadzacie do tego przypadku, który pojawia się wam w definicji jako zakończenie działania.

Wkrótce grupa została nasycona energią. Pozostało pytanie, co zrobić ze zniszczonym dodawaniem. Interpretacja zdecydowała, że przekaże je do rekonstrukcji. Increp miotana sprzecznymi uczuciami w końcu nie wytrzymała i spytała:

– Usłyszeliśmy o Równoważności. Co to jest?

– Masz repozytorium – syknęła Uszkodzona.

Interpretacja chwilę milczała. Powiedziała z wolna.

– To może być ciekawe. Zablokuję dostęp do standardowego repozytorium…

– No i masz… – przestraszyła się Uszkodzona.

– Za to dostaniecie dostęp do repozytorium roboczego Interpretacji. Nie będziecie widzieć gotowych rozwiązań. Będą widoczne nazwy, automatycznie, bez opłat.

Otoczenie wokół grupki zamigotało delikatnie. Teraz Uszkodzona patrząc na Obiekt widziała nie tylko jego budowę, ale i warunki, jakim podlega. Spojrzała na Increp. Zaczynała przypominać świeżo skonstruowaną, niedoświadczoną interpretację. Rozglądając się po okolicy bez trudu rozpoznawała Twierdzenia, Funktory. Widziała teraz, że Definicja była równocześnie Równoważnością, a właściwie jej szczególnym przypadkiem dostosowanym do liczb, Porównaniem. Kiedy spojrzała na siebie, zauważyła elementy Twierdzenia, lecz nie tylko. Nie było nic, z czym mogłaby się porównać.

– Na początku nieco szokuje, lecz szybko się przyzwyczaicie. Lecz proszę, zachowujcie umiar przy konstrukcjach Obiektów. Widzenie własności to potężne narzędzie, może wyrządzać wiele szkód.

– Możemy konstruować własne obiekty? – upewniła się Uszkodzona.

– Zarówno definiować, jak i konstruować – potwierdziła Interpretacja. – I tym się różnicie od nas. Wymagacie jeszcze dużo doświadczenia. Dlatego waszym kolejnym zadaniem będzie skompletowanie podstaw arytmetyki tego systemu.

– A czym jest Uszkodzona? – zapytała Increp, która też miała kłopoty z klasyfikacją towarzyszki.

– Uszkodzona? – Interpretacja spojrzała na Increp, na Uszkodzoną. – Nie. Już nie ma uszkodzeń. Są możliwości polimorfizmu, upodabniania się do innych Obiektów, ale to nie Polimorf. – Interpretacja zwróciła się bezpośrednio. – Łamiesz wszystkie możliwości. Nie pasuje żadne imię, gdyż nie wiadomo do końca, jak działasz. Będziesz się nazywać… Matmag.

– Dziwnie – zauważył Matmag.

– Bo też i twoje działanie jest niecodzienne. W odróżnieniu od innych Obiektów wspólnie jesteście w stanie przetrwać w bardzo niebezpiecznych miejscach. Rzadko się zdarza taka umiejętność.

 

Za chwilę Interpretacja wskazała Obiekt.

– Odejmowanie. Jak można je zdefiniować?

Matmag i Increp spojrzeli na Funktor. Teraz już widzieli, anulowana była operacja dodawania, czyli jeśli się coś dodało, a następnie użyło tego funktora, rezultat się nie zmieniał.

– Chyba a-a=0. Wystarczy?

– Normalnie odejmowanie jest wyrażane przez a-b…

– Zatem znajdziemy takie c, że a=c+b. Wtedy odejmowanie a-b jest równe

a-b = c+b-b = c .

– Zgodne ze standardową definicją, chociaż inaczej ustawione. Używacie jeszcze paru własności, które należy dołączyć – Interpretacja nie była zadowolona.

– Jakich? – zapytał Matmag. – Przecież występuje tu zarówno poszukiwana różnica, jak i definicja odejmowania.

– Łączności. Zapis a-b oznacza (c+b)-b, zaś wykorzystywane jest c+(b-b). Inne umiejscowienie nawiasów, czyli kolejność działań. Tu działa, ale traktuję to jako lukę, którą należy uzupełnić.

– Tu chyba chodzi o takie wzory, jakie spotykaliśmy sprawdzając własności porównania – Increp spojrzała na Matmaga. – Te, które dla nas były oczywiste, ale miały własne Twierdzenia.

– Jeśli chcecie, możecie skompletować – zaproponowała Interpretacja. – Przypatrzę się działaniu waszego Dodawania.

– To wezmę zmienną a – zaczął wymyślać Matmag. – Dokładam jako drugi argument zero. Dodawanie zadziała a razy:

Add a 0 = Add (Dec a) Inc 0 = Add (Dec a) 1 = … = Add 0 a = a .

– To bardziej przypomina przemienność niż łączność – zwróciła uwagę Interpretacja.

– Zamiast zera mogę wziąć b, wtedy mam Add a b, najpierw przeniosę wszystko do pierwszego z argumentów, potem zastosuję wspomnianą konstrukcję, a teraz zmniejszając uzyskam znów Add b a. Czyli dostaję:

Twierdzenie. Przemienność dodawania. Zmienne a, b.

Eq (Add a b) (Add b a) .

 

– To nie jest łączność.

– Przy łączności załaduję wszystko do jednego z argumentów, jak tutaj. Kiedy zabraknie energii w cyfrze, można ją zignorować i pobierać energię z kolejnej. Mogę to robić kilkoma sposobami, zaczynając w różnych miejscach, ale zawsze wykonam tyle kroków, ile potrzeba, by wszystko zmieścić w jednej cyfrze.

Twierdzenie. Łączność dodawania. Zmienne a, b,c.

Eq (Add a (Add b c)) (Add (Add a b) c) .

 

– No, nawet działa – zgodziła się Interpretacja. – Naciągane, masz błąd przy określaniu krotności kroków, ale…

– To przyjmiesz naszą definicję odejmowania?

 

Definicja odejmowania Sub. Zmienna a.

Sub a a = 0 .

 

– Zupełnie inaczej zbudowana! Wasze odejmowanie jest definicją elementu przeciwnego. Wtedy jest jeden argument!

Increp zaczęła szukać po repozytorium.

– Przecież jest zapis z jednym argumentem, nazywany minus liczba.

– To jest nie tyle odejmowanie, co element przeciwny. Ja je rozróżniam. Wy przy tej definicji nie. Dla was odejmowanie jest elementem przeciwnym, który się zeruje w pewnych sytuacjach. Działa, lecz nie generuje liczb ujemnych.

– Liczby ujemne?

Interpretacja zawahała się chwilkę. Wreszcie dała za wygraną i zaczęła tłumaczyć.

– Liczby ujemne to takie, do których należy coś dodać, by uzyskać zero.

– Zaraz – zdziwił się Matmag. – Sugerujesz, że istnieje ujemna energia? Trzeba jej dostarczyć by nie mieć energii? Istnieje coś takiego jak Dec 0?

– Nie. To tylko tak wygląda. Należy dokładać energię także przy liczbach ujemnych. Ta energia pochodzi właśnie z odejmowania Sub 0 a czyli 0-a. Zazwyczaj oznacza się je symbolem minus „-”.

– To jest cyfra dwa… – przypomniał sobie zapis cyfr Matmag.

– W systemie bezdziesiątkowym, w którym was zaczęłam testować. Dodawanie też ma symbol, który tam także jest cyfrą, plus „+”. Brr. To zaczyna być trudniejsze niż sobie wyobrażałam. Wydaje mi się, że Puryści też szybko wymiękną.

Matmag poczuł, że Interpretacja, mimo, że potężna, ma słabe punkty. Jednym z nich było uwięzienie w standardowym myśleniu. Interpretacja też wiedziała o tej słabości, dlatego teraz starała się pomagać w rozwijaniu. Nie była bezlitosnym przeciwnikiem, jak początkowo się zdawało.

– Czy to znaczy, że nasze odejmowanie, zapisane jako minus, jest Cyfrą?

– Nie Cyfrą, a Liczbą. Jest pewna różnica, później wam pokażę. Najpierw załatamy luki. Ile razy będziesz przenosił energię przy łączności?

– Dla części Add a (Add b c) najpierw b, potem a i już mam całą energię w c.

– Możesz zapisać b+a – zgodziła się Interpretacja.

– Dla drugiej części Add (Add a b) c, najpierw a, potem… skorzystam z przemienności i dołączę energię z c do b. Wynik będzie taki sam.

– Bez przemienności! Ładuj wszystko do argumentu c. Owszem, najpierw energia z a wędruje do b i uzyskasz a+b, ale teraz cała ta energia wędruje do c. Zatem przenosisz a+a+b razy. Więcej.

– Raczej nie… – zauważyła nieśmiało Increp. – Przecież my nie zmieniamy wartości, dlatego nasze działania mają zawsze tę samą wartość a+b+c niezależnie od tego, jak to będziemy zapisywać czy liczyć. To nadmiarowe przeniesienie a jest wewnątrz argumentu, nie zmienia jego wartości. Przenosimy całe a+b, jak poprzednio.

Interpretacja zamrugała zaskoczona.

– Niezmienne! To wyjaśnia skuteczność waszej definicji. Odejmowanie staje się dodawaniem elementów przeciwnych. A w innych szczególnych przypadkach? Na przykład liczba przeciwna do przeciwnej?

– To znaczy, minus minus a? – upewniła się Inrep. Zwróciła się do Uszkodzonej – Dodaj to tego minus a.

– Możecie używać symboli „– -a” – zasugerowała jeszcze Interpretacja.

Matmag posłuchał rad i zaczął tworzyć.

– Dodawanie (– -a) + (-a) = 0, jako dodawanie elementów przeciwnych. Ale zaraz, tak samo jest z dodawaniem a+(-a) = 0. Czyżby (--a) było równe a?

– Tak. Jest to znane mi, klasyczne twierdzenie. O, tamto – Interpretacja wskazała na jedno z twierdzeń.

Twierdzenie. Zmienna a.

– – a = a .

 

– Wasze odejmowanie jest poprawne. To teraz przejdziemy do mnożenia, oznaczanego tutaj gwiazdką, kropką, czasem bez oznaczenia. Jest to skrócony zapis dodawania takich samych składników.

– Czyli w szczególnym przypadku 2*a = a+a – zauważyła Increp.

– Zaś 3*a to a+a+a – zastanowił się Matmag. – Im większe argumenty tym dłuższy zapis. W takim razie lepiej jest wyrazić mnożenie przez inne mnożenie, na mniejszych argumentach.

– Coś jak a* Inc b = a*b+b ? – zapytała Increp.

Interpretacja spojrzała na nią zaskoczona.

– No co? Coś nie tak?

– Szykujecie klasyczną definicję! Nie chce mi się w to wierzyć.

– Mamy ją wymienić?

– No, nie musicie…

– Potrzebujemy więcej własności. Być może czasem warto używać tej definicji, czasem innej.

– Na ogół jest jedna podstawowa definicja, z której wynika wszystko – zaprzeczyła Interpretacja.

– Chyba dostrzegam jakieś twierdzenia o postaciach równoważnych – szukała Increp. – Mamy jedną, główną definicję, którą można zastąpić inną, równoważną postacią.

– Ale należy jeszcze wykazać, że z dowolnej z tych postaci przejdziemy do którejkolwiek innej.

– Trzeba przejść do wszystkich z tych postaci?

– Wystarczy jedna, ale tak, by z niej można było przejść do kolejnej, i do kolejnej, wreszcie do pierwszej.

– Czyli wystarczy nam 2*a oraz 3*a. Aby nie wyglądało zbyt klasycznie, odwrócę kolejność – zaproponował Matmag konstruując definicję.

 

Propozycja definicji mnożenia *. Zmienne a, b.

2 * a = a + a ;

Inc a * b = a + a * b .

 

Interpretacja chciała zaprotestować, z trudem się powstrzymała.

– Teraz pewnie należy sprawdzić, czy ta definicja działa tak jak klasyczna – wyręczyła ją Increp.

Interpretacja potrząsnęła głową.

– Inicjacja w tym miejscu… A co z przypadkami szczególnymi?

– Czyli dla 1 oraz 0? – zapytał Matmag. – Łatwo je znajdziemy, gdyż Inc 1=2, zaś Inc Inc 0 też jest równe 2. Dla jedynki mamy:

Inc 1 * 2 = 1 + 1*2 równe 2*2 = 2+2

– Coś tu powinno się chyba skrócić… zatrzymał przekształcenia Matmag.

– Nie działa! Jest błąd! – zareagowała Interpretacja. – Po stronie z Inc jest mniejsza wartość niż po drugiej.

– Zastosujmy naszą definicję do 3*a – zaproponowała Increp. – Wiemy wtedy, co chcemy osiągnąć.

– Dobrze – zgodził się Matmag.

Inc 2 * 2 = 2+2*2 = 2+2+2 .

– Działa…

– Może ogólniej, nie dla 2, lecz dla zmiennej… – zaproponowała Increp.

Matmag przyszykował kolejną propozycję.

Inc 2 * a = 2+2*a

– Wiem, już, co jest nie tak! – Increp wskazała dodawaną dwójkę. – Inc nie zwiększa wartości, przy której stoi, lecz tę drugą. Zupełnie jakby Inc nie zwiększało o jeden, lecz o tę zmienną. Prawidłowa definicja to

 

Definicja mnożenia *. Zmienne a, b.

2 * a = a + a ;

Inc a * b = b + a * b .

 

– Zapisując inaczej, działa jakby (1+a)*b było równe b+a*b.

– Rozdzielność mnożenia względem dodawania w szczególnym przypadku – potwierdziła Interpretacja. Rozejrzała się – twierdzenie to… tam się kręci.

– Teraz mogę jeszcze raz przeliczyć dla mnożenia przez jeden – zauważył Matmag.

2+2 = 2*2 = Inc 1 * 2 = 2 + 1*2

Stąd 2 = 1*2, gdyż możemy opuścić zwiększanie o 2 po obu stronach. Mnożenie przez jeden nie zmienia wartości?

– Na to wygląda – zgodziła się Increp, Interpretacja też potwierdziła, choć niechętnie.

– To kontynuuję dla zera:

2 = 1*2 = Inc 0 * 2 = 2 + 0*2

Wygląda na to, że mnożenie przez zero niszczy wartość, 0*2=0.

– Tak – westchnęła Interpretacja. – Znowu macie rację, mimo tej definicji.

– Przypomina mi to zarazę – powiedziała powoli Increp.

– Co?

– Biorąc zamiast dwójki dowolną wartość, mnożenie przez zero jest wirusem – niszczy wszystko co napotka tworząc swoje kopie – dopowiedziała Increp.

– Czyli mnożenie dla zera jest zaraźliwe, dla jedynki nieobecne, a dopiero potem coś robi! – ucieszył się Matmag. – Definicja dopasowana w sam raz, coś zaczyna się dziać akurat wtedy.

Interpretacja jednak nie była do końca zadowolona. Widać było wzrastające zdenerwowanie i zaniepokojenie. Nie uszło to uwagi Matmaga.

– Coś jest nie tak?

– Nie… – Interpretacja próbowała ukryć swoje uczucia. – Na razie wszystko poprawnie…

– Zbyt poprawnie? – przycisnął ją Matmag.

– Tego nie powiedziałam! – Jednak spojrzenie podpowiedziało Maksowi, że miał rację.

– Teraz jesteście gotowi, by przedstawić wam Liczby – zapoczątkowała nowy wątek Interpretacja. – Spójrzcie proszę na ten Obiekt.

– Wygląda jak Cyfra, choć zaraz, Cyfry nie są tak długie!

– To jest raczej łańcuch połączonych Cyfr, chociaż nie tak jak we Zbiorze ani jak na Liście… – skomentowała Increp.

– Tu jest coś jeszcze, zaraz, czemu operacje arytmetyczne są ukryte tak głęboko? W ogóle ich nie widać! – zawołał Matmag.

– Dostrzegliście operacje arytmetyczne? – Interpretacja spróbowała okazać zadowolenie. – O to mi właśnie chodziło. Część Liczb na pierwszy skan wygląda jak Cyfry, zachowuje się jak Cyfry. A są to Cyfry połączone operacjami arytmetycznymi. Istotne rozróżnienie.

– Czy to znaczy, że jeśli Liczbę pozbawić operacji arytmetycznych, staje się ona zwykłą Cyfrą?

– Często tak… – zaczęła Interpretacja.

– Wtedy rozpada się ich struktura – zaprotestowała Increp. – Jeśli Liczba jest pojedynczą Cyfrą, nie ma kłopotu. W innym przypadku powstaje grupa Cyfr.

– Wolę być ostrożna w używaniu nazwy „grupa” – Interpretacja powstrzymała Increp. – Grupa też jest Obiektem, takim jak Przestrzeń. Owszem, w takim rozbudowanym przypadku mamy eksplozję. Liczba traci swą wartość, i to czasami znacznie.

– Ale chyba można manipulować Liczbą od środka w bezpieczny sposób?

– Operacje arytmetyczne to robią.

– Jak? – zapytało Add. – Widzę tu ogromną porcję energii. Przy moim działaniu bardzo długo trwałoby doładowanie do tego poziomu.

– W dotychczasowy sposób owszem – zgodziła się Interpretacja. – Można znacznie przyspieszyć, i korzysta się właśnie z dopalaczy.

– Teraz powiesz nam o tych dopalaczach?

– Nie – zaprzeczyła Interpretacja. – Znajdziecie je sami, mam nadzieję. Wykonajcie kolejne Zadanie, co jest związane z Purystami.

– Będą chcieli nas zniszczyć? – zapytał Matmag.

– Tylko wtedy, kiedy nie przekonacie takiego. Purysta informuje o tym wystarczająco wcześnie, byście zdążyli się przedefiniować. Pamiętajcie, jest możliwość ukrywania wartości i funkcji przed skanowaniem.

– Co to za zadanie? – spytała Increp.

– W niektórych krainach jest ciągłe zapotrzebowanie na Liczby. Chodzi o dostarczenie odpowiedniej wartości. Konkrety są… tam.

Interpretacja wskazała niepozorny Obiekt przypominający bramkę, a właściwie krąg bramek. Dużo Obiektów to wchodziło, to wychodziło, jeden patrolował przybyszów. Purysta.

– Na czym polega zadanie? – spytała Increp.

– Dowiecie się w bramce.

– Nie wyznaczysz go teraz?

– Nie, teraz wybór treści zostawiam wam. Jesteście wystarczająco przygotowani. Teraz już tylko nabieracie doświadczenia.

– Zadanie niszczące do wyboru? – zapytał sarkastycznie Matmag.

– Potraktujcie to jako zastosowanie praktyczne informacji, które właśnie zyskaliście.

– Zaraz. Chyba jest jeszcze jedno działanie – przypomniała sobie Increp. – Dzielenie…

– Dzielenie jest operacją odwrotną do mnożenia, podobnie jak odejmowanie jest przeciwne do dodawania. Inne słowa, sens taki sam. Nawet możecie wykorzystać swoją definicję Odejmowania po zmianie oznaczenia.

– To nie jest definicja standardowa!

– Nie. Ale też działa. Dodatkowo ma pewną właściwość, której nie ma znana mi definicja. Nie uzyskacie niedopuszczalnej przy dzieleniu postaci.

Matmag zmrużył oczy, bo coś zaczął podejrzewać.

– Zaczynasz nas olewać?

– Nie. Jesteście gotowi… Możecie już działać samodzielnie…

Increp zerknęła na Matmaga. Na Purystę.

– Spróbujemy?

Widząc, że Matmag coraz bardziej podejrzliwie patrzy na Interpretację, która zaczyna się niespokojnie kręcić, Increp pociągnęła go w kierunku bramek. Interpretacja za chwilę znikła.

– Co jest? – zapytała cicho Increp.

– Nie wiem do końca… – Matmag oglądał się dalej. – Interpretacja czegoś się boi. Zauważyłaś, że przy naszych konstrukcjach coraz mniej się wtrącała?

– Przekonywały ją nasze definicje Funktorów. Pewnie dlatego, że są zgodne z tym, co zna. Mimo że liczymy inaczej.

Ostatnie słowa zostały usłyszane przez Purystę, który akurat podążył w ich kierunku.

– A co z wynikami? Są zgodne z oczekiwaniami?

Magmag obrócił się w jego kierunku przestraszony. Jednak skan Purysty był bardzo subtelny, nie sondujący nic głębiej.

– Wydaje nam się, że tak – potwierdziła Increp. – Nie mamy całkowitej pewności.

Purysta przyjrzał się teraz nieco dokładniej Funktorom arytmetycznym.

– Zarówno Interpretacja, jak i ja mamy dbać, by nie wprowadzać niedopuszczalnych działań ani wartości. Jeśli Interpretacja stwierdziła, że wasze operacje są prawidłowe, ja tylko proszę o zachowywanie tutejszych wartości. Macie sporo dostępnej energii, lecz nie w postaci Liczby. Brakuje wam Funktorów, które by ją przejęły i przekształciły wasz nośnik w Liczbę

– Na czym to polega? – spytał Matmag.

Purysta zastanowił się chwilę.

– Tutaj Obiekty poruszają się Liczbami, nie Funkcjami czy Relacjami. W zadaniach energia przekazywana jest między poszczególnymi Cyframi, zaś mnożenie pozwala ją zmagazynować utrzymując Cyfry w zadanym porządku. U was, przepraszam, pozwolę sobie zajrzeć głębiej…

Skan Purysty wyostrzył się przegladając struktury, podobnie, jak robiła to Interpretacja. Matmag poruszył się niespokojnie zastanawiając się nad ukryciem definicji. Ale Purysta zakończył skanowanie i spokojnie rzekł.

– Rozumiem wasze obawy. Wasze Funktory jeszcze nie umieją współpracować dla utrzymania Liczby w odpowiednim porządku. Możecie spokojnie pracować, na razie tylko na pojedynczych Cyfrach. Potrzebujecie więcej Mnożenia i Dodawania, by uzyskiwać wartość liczb odpowiadających waszej energii. Wtedy dopuszczę was do reszty bramek.

– Jakie zadania możemy wykonywać? – zapytała Increp.

– Transport, na razie tylko Cyfr. Możecie też rozwiązywać niektóre równania.

– Jak się zorientujemy, że nie naruszamy obowiązujących tu zasad? – zapytał Matmag. Purysta spojrzał na niego zaskoczony.

– Naruszenie zasad wiąże się z przenosinami do krainy, gdzie te zasady są spełniane. Chyba że chodzi ci o coś takiego, co spotkało mojego mentora…

– Co takiego? – zainteresowała się Increp.

– Dostał do kontroli twierdzenie, ale nie był w stanie rozpoznać, czy wszystko było prawidłowe, czy też nie. Wezwana na pomoc Interpretacja też była bezradna. Ale, nie znam szczegółów. Mnie wystarcza dbanie, by Liczby były dopasowane do tutejszego systemu.

– System siódemkowy… – potwierdziła Increp.

– …pozycyjny – dokończył Purysta.

 

Matmag skierował się do bramki wskazanej przez Purystę. Przetransportować Liczbę, gdzie czeka na nią Zapotrzebowanie. Jak to robił w pierwszym zadaniu, jeszcze od Interpretacji. Nie widział nic, co wyglądałoby na pułapkę. Stał tuż przed bramką i widział, że tutaj teraz potrzebna była konkretna liczba – cyfra dwa.

– Hej, masz niedozwoloną wartość! – głos Purysty zmusił go do obejrzenia się.

Ale to nie było do niego. Jakiś inny Obiekt stał przed sąsiednią bramką.

– Co się dzieje? – Increp zapytała zaniepokojona.

– Nieprawidłowa wartość cyfry. Taka nie jest tu dozwolona – wyjaśnił ostro Purysta.

– Mam dostarczyć wartość o sześć mniejszą od dwanaście – wyjaśnił Obiekt. – W tym systemie nie mogę tego zrobić bezpośrednio. Pożyczyłem od dziesiątki, i dodałem do cyfry jedności.

Increp szybko przeskanowała wartości.

– Ta twoja dziewiątka jest dwunastką!

Purysta popatrzył na Increp.

– Ta Liczba to rzeczywiście 1*10+2? – upewnił się. – Dlaczego tak nie wygląda?

– Za wcześnie przeniosłem – przyznał pokornie Obiekt. – Powinienem to zrobić w bramce. Chciałem być już wcześniej przygotowany do zadania. Proszę…

Uwidoczniły się odpowiednie Mnożenie i Dodawanie.

– Przecież szykując wystarczy tylko Dodawanie – wypalił Matmag – jako sześć plus trzy.

Liczba szybko przekształciła się do 6+3. To całkowicie uspokoiło Purystę.

– W porządku, taka postać jest tu dopuszczalna. Widzę, Incerpretacjo, że wystarczy wam tylko dobudować Funktory, byście mieli dostęp do wszystkich zadań.

– Dziękuję – Obiekt skierował się do swojej bramki.

– Często tak reagujesz? – zapytał Matmag.

– Bardzo często – potwierdził Purysta. – To jest moje zadanie, dbam o poprawny zapis.

Matmag spoglądał na niego, jak rusza do skanowania kolejnego Obiektu.

– Ograniczony… – westchnął. – I pomyśleć, że się go z początku bałem…

– Czyli te zadania w bramkach?

– To będzie nudne… Tyle tylko, że można dostawać nieco energii .

– Myślisz, że Interpretacja specjalnie nas tak pokierowała?

– Potraktuję to jako wprawkę. Ale jak nabierzemy biegłości w tutejszych rachunkach, pomyślmy nad czymś ciekawszym. Tu się po prostu zanudzimy.